航空機の座席やホテルの客室などの商品は，需要に応じて短期的に数量を増減させることができない．そのためこれらを販売する事業者は，需要に対して供給量を変化させるのではなく，固定的な供給に合わせて需要を調整することにより収益の最大化を図る．このように，固定的な供給のもとで企業の収益を最大化するためのモデル化・数値解法などの手法全体をまとめてレベニューマネジメント (revenue management, RM) またはイールドマネジメント (yield management,YM) と呼ぶ [1]．

　RMは広い範囲で応用できる手法であり，先に述べたホテルや航空機以外にも，新幹線予約の事例 [2][3]，レンタカー予約 [4]，レストラン予約 [5][6][7]，デマンド型乗合いタクシー [8][9]など多くの事例が存在する．またスキー場などのように，価格が決まっているサービスにおいて見られる特定な日に有効な割引券も，需要調整の機能を果たしていることからRMの事例として捉えることができると指摘する文献も存在する [10]．

　RMの基本的な考え方は，物理的には同一な商品を支払い意思額 (willingness to pay) の異なる複数の顧客に対し，それぞれの顧客が適切だと思うような料金や付随する条件で販売することである．たとえば航空機の座席予約の場合，ビジネス目的の顧客とレジャー目的の顧客では予約するタイミングや支払っても良いと思う料金が異なる．このため航空会社はレジャー客には早割のような，安いが販売期間が限られている商品（座席）を用意し，ビジネス客には高めの料金の商品を用意する．このように料金や付随するオプションがセットになった商品は料金クラス (fare class) と呼ばれ，航空会社では予約クラスが，ホテルでは予約プランがこれに該当する．以後簡単のため，料金クラスを航空会社の事例ではクラス，ホテルの事例ではプランと呼ぶ．また，あるクラスを購入する意思のある客の集まりを顧客クラスと呼ぶ．

　1970 年代にアメリカの航空業界で始まったRMは，経済学と数理科学両方の視点から多くの研究がされている．研究の歴史に関してはvan Ryzinら [4]やSierag [11]の文献が詳しい．RM は米国の1970年代の航空業界における規制緩和が発端となり生まれた航空会社のテクニックであったが，これを最初に数理的に記述しようと試みたのはLittlewoodである．Littlewoodはレジャー客とビジネス客という支払い意思額の異なる二種類の顧客クラスが存在すると仮定した．レジャー客は早い時期に予約を行い支払い意思額が低く，ビジネス客は遅い時期に予約を行うが支払い意思額が高い．Littelewoodは，レジャー客が最初の予約期間に予約を行い，次の予約期間にビジネス客が予約を行うという仮定のもとで，席数が限られた同質な座席をこれらの顧客クラスへ販売する際の最適な販売比率を明らかにした [12]．

　この Littlewood のモデルは予約販売の期間を二つに分けて考え，レジャー客のみが最初の期間に予約に訪れ，次の期間にビジネス客のみを訪れるという仮定を置いている．このように，安い料金を予約したい客から順に予約に訪れるという仮定を置いたモデルは静的モデルと呼ばれる．この静的モデルは Littlewood の 2期間・2クラス販売モデルから多期間・多クラス販売モデルへと拡張され，この静的モデルの近似解法である EMSR-b 法 (expectedmarginal seat revenue - version b) は実際の航空会社の予約システムで使われてきた [1,13]．

　静的モデルとは異なる仮定を置くモデルに動的モデルが提案されている [4]．このモデルはレジャー客とビジネス客のような複数の顧客クラスが同時期に予約に訪れると仮定している．この仮定は静的モデルの仮定より現実的だが，新しい仮定として単位時間当たりに訪れる顧客の人数を 1 人以下に限定している．この仮定は動的計画法で求解をするためのものであり，実際には団体予約などが存在する．

2004 年に van Ryzin らが提案した離散的購買選択モデルは，意思決定理論において発展してきた選択モデルと動的モデルを結びつけたという点でそれまでのモデルと大きく異なる [14]．それまでの動的モデルは，レジャー客は安い料金の予約しかせず，ビジネス客は高い料金の予約しかしないという前提に基づいていた．しかし，レジャー客は安い料金の予約が無ければ高い料金の予約で我慢することも考えられる．また，それまでの RM モデルはクラス間の違いとして料金のみを取り扱っており，たとえばホテルの予約であれば朝食の有無など料金以外に考慮に入れるべき事項を扱ってこなかった．vanRyzin らはこの問題を解決するため，顧客の選択行動をより一般化したモデルである，離散的購買選択モデルを提案した．離散的購買選択モデルでは選択モデルの一種である多項ロジットモデル (multinominal logit model) を用いて，顧客は事業者がその時点で販売しているクラスの中から自身の効用（その選択肢を選んだときの満足度）が最大になるクラスの予約を行うと仮定した場合における各クラスの予約確率を計算する．これにより，料金の違いのみを扱ってきた従来のモデルよりも複雑な予 約行動を記述することができる．van Rizin のモデルのように顧客の選択行動を取り入れたモデルやその近似解法の研究はここ十年ほど盛んに行われており，van Ryzin の文献 [14]の被引用数からも RM の研究における大きなテーマの一つであるといえる．

本節では van Ryzin の離散的購買選択モデル [14] の関連研究を説明する．文献 [15]，[16]は van Ryzin の離散的購買選択モデルを複数日にまたがる予約や複数の出発地と目的地のペアに対しても適用できるようにモデル化を行い，そのモデルを線形計画法を用いて近似する手法を示している．このような複数の出発地と目的地のペア，あるいはチェックイン日とチェックアウト日のペアを対象とする RM モデルはネットワーク RM 問題 (network RMproblem) と呼ばれ，単一のペアを対象とする RM モデルは単一レグ RM 問題 (single-leg RM problem) と呼ばれている．文献 [17] は離散的購買選択モデルにおける価値関数をシミュレーションベースで近似する方法を提案し，高速に最適な販売クラスを求めることができることを示した．文献 [18] は販売するクラスを固定したうえでそのクラスの料金を決定する問題を定式化し，さらに，この問題がニュートン法によって求解できる形式に変換することが可能であることを示した．この問題の決定変数は連続値をとる料金であり，料金と顧客の予約確率の関係を多項ロジットモデルで表現している．この結果を利用することにより，離散的購買選 択モデルの副問題である料金決定問題を高速に解くことができる．

　文献 [19] は van Ryzin らのモデル [14] にオーバーブッキングとキャンセルを導入したモデルを定式化した．オーバーブッキングとは事業者がある程度のキャンセルが出ることを見越してキャパシティ以上の予約を受け入れることであり，特に航空業界において普及している手法である．オーバーブッキングをして見込みよりもキャンセルが少なく予約がキャパシティを超えてしまった場合，予約料金が低いクラスの客が強制的に他のホテルやフライトへ移動させられる．

文献 [20] は RM における製品のアップグレードに注目している．RM の運用において供給と需要が一致しなかった場合に，無償のアップグレードが行われることがある．このような無償アップグレードはホテルやクルーズの客室販売でよくみられる．一方で飛行機の座席やレンタルカーといった商品の場合は無償アップグレードは行われず，顧客に対し有償のアップグレードを促すようなサービスを始めている．同文献は，商品の価格が固定されており，需要が独立している場合に，いつ，どの顧客に，どの商品へのアップグレードを許可するかを決定するモデルを定式化し，そのモデルの収益最大化問題の解を示した．アップグレードは無償と有償のどちらも可能であり，数値例から有償アップグレードの場合はアップグレードを行わないモデルと比べ著しく収益が増加する可能性があることが示されている．また，同文献は事業者が価格を変化することができる場合におけるアップグレードモデルも定式化し，最適な価格設定とアップグレード許可の求め方を示した．van Ryzin のモデルにおけるパラメータの推定には最尤法が用いられるが，推定に不確実性が伴う．この不確実性によって収益が減少 するという問題に対処するため，文献 [21][22] は Ryzin らの離散選択モデルにロバスト最適化を用いたモデルを提案した．このモデルでは，顧客がプランを予約する確率の分布を決定するパラメータに不確実性が存在すると仮定している．不確実性により真のパラメータがパラメータの推定値からある距離以内に分布しているとして，最も期待収益が小さくなる真のパラメータに対して最適化問題を解く．分布間距離の算出には f-divergence という尺度が用いられ，例として三角ダイバージェンスやカイ二乗ダイバージェンスなどがある.

　ホテルや航空運輸などの旅行産業は，インターネットの普及による影響を大きく受けている産業の一つである．経済産業省が発行している電子商取引に関する報告書によると，日本における BtoC (Business to Consumer) 旅行サービスの EC (Electronic Commerce) 市場規模は，2004 年には 6610 億円だったのに対し，2018 年には 3.719 兆円と 15 年で約 6 倍に成長している [23][24]．2018 年は前年の 2017 年と比べても前年比 10.27%増の成長率であり，日本のインターネット予約率は欧米と比べてまだ低い数値であることからも，国内市場規模の拡大は今後も続くと予想される．

　インターネットの普及と市場規模の拡大に伴い，事業者が一方的にプランの料金や割り当てを決めるのではなく，メールなどによって事業者と顧客の間でコミュニケーションをとることで，双方の満足度を高めるような新たなRM システムが生まれている．例えば，ANA は Bit my price というサービスを 2018 年に開始している [25]．このサービスは，まずエコノミークラスの予約客に対しメールで連絡を取り，プレミアムエコノミークラスへのアップグレードオプションのために支払っても良いと思える金額を入札させる．次に，入札額が高い客に対し，アップグレード可能の連絡をする．連絡を受けた客は入札額を支払うことでアップグレードをすることができる．予約客はこのサービスを利用することで，通常は専用料金で販売されるプレミアムエコノミーの座席を，予約状況と他の客の入札額により通常より安い金額で予約することができる．また，ANA にとっても予約客に支払い意思額を入札させることで，需給のミスマッチがない最適な料金でアップグレードオプションを販売することができるというメリットがある．

　もう一つの例として，“cansell” というサービスが 2017 年に始まっている．このサービスは，ホテルの予約をキャンセルしたい予約客と，安い料金で予約したい顧客の間で予約の売買を行う．利用するホテルにもよるが，キャンセル時に予約料金の何割かしか返金されない場合がある．このような場合に“cansell” を利用してキャンセル時の返金よりも高い金額で予約を売ることができれば，予約客はキャンセルによる損失を抑えることができる．また，ホテル側もキャンセルによって空室が発生し，その空室が売れ残ることを防ぐことができるというメリットがある [26, 27]．