自動車利用量が多い都市部において，慢性的に起こる交通渋滞やそれによって引き起こされる交通事故は大きな社会問題となっている．渋滞によってもたらされる損害は個人の時間的損失のみならず，それに関連する巨額の経済的損失，排気ガスによる環境汚染にもつながっており，多岐にわたって社会に害をなしている．道路の混雑は道路の本数を増やすことで必ず解決するほど単純な問題ではなく，混雑を減少させドライバーの移動時間短縮を見込んでつくられた新たな道路が逆に交通事情を悪化させるという報告も入っている[1]．また道路建設には巨額の費用が掛かる上，渋滞が問題となっている都市部では新たに道路を増やすための土地も不足している．本研究の目的は現行の交通信号制御方式を改善し，各交差点での出発待ち時間を減らすことにより，交通流を円滑化し，渋滞の発生を抑えることである．

　交通信号制御
　交通信号は赤，青，黄などの状態を周期的に示すことで交通流を制御している．一般的に信号現示が一巡する周期であるサイクル長，サイクル長に対する各現示の青信号時間の割合であるスプリット，同一方向の交通流に対する，基準交差点との青信号開始時刻のずれであるオフセットの3つのパラメータを制御量としている．青信号を1，赤信号を0のように信号機の状態を離散変数で置き，制御量として扱うケースも存在する[2]．交差点は複数の信号機で構成されており，信号表示の組み合わせで様々な現示を表す．
　オフセット制御
　交通制御では車両移動時間の最小化を目標としており，車両移動時間とは走行時間と，信号機での停車待ち時間の足し合わせである．オフセットの制御基準にはスルーバンド最大化と待ち時間最小化の2種類が存在する[3]．前者におけるスルーバンドとは自動車が信号機に妨げられずに走りぬけることができる時間の帯のことで，簡単に解を求められるという利点を持つが，スルーバンドと実際の交通効率との間に関係性が存在するかは不明である．そのため，求められた解は待ち時間や停止回数を最小化するものではない．スルーバンドを大きくするためには，隣接し合う信号機が協調して青信号を表示する必要があり，青信号が隣接する車両進行方向の信号へと伝播していく様子をグリーンウェーブと呼ぶ．文献[4]では，一台の車が，二次元正方格子状の道路を赤信号を避けながら，より遠くへ進んで行ったときの経路を調べており，各交差点に存在する信号機をそれぞれ同期させるように動かしたときと，全く独立に動かしたときとの経路の違いを調べている．後者の待ち時間とは信号待ちを強いられる全ての車の停車時間の合計値である．この方法はスルーバンド最適化手法に比べ，最小化したい値である待ち時間を直接扱っているため効率の良い解を得ることができるが，非線形最適化問題となるため解を求めることは難しい．
　集中制御と分散制御
　現代の都市街路網では，各交差点に設置された多数の信号機を専用回線で中央コンピュータに接続し，集中制御することで交通規制を図っている．交通量調査などで，あらかじめ想定した複数の交通状況に対して，最大10程度の信号機表示パラメータを算出しておき，実際の制御時には曜日，時刻によって信号機表示パラメータを選択する，パラメータパターン選択方式が主に使われている．この制御方式には複数の問題点があり，信号機表示パラメータの設計やそのパラメータを時間で変更するといった経験的予測に対する負担が大きいものになっていしまうこと，信号機表示パラメータは交通状況にリアルタイムには対応していないため，各交差点において無駄な待ち時間が発生してしまうことがあげられる．これに対し自律性を持たせた信号機を局所的に交通情報を共有しつつ分散配置することで，相互作用による同期制御が可能となる方式も提案されている[4-7]．これを分散制御と言い，制御計算に必要な情報，計算量がともに少なく，道路網の大規模化にも対応可能である．分散制御方式では各交差点近傍の局所的な領域において，交通量の待ち時間を最小化する制御を実現するが，系全体の待ち時間を最小化する保証はない． 　
　分散制御方式の先行研究として，信号機もしくは信号機の集まりとみなした交差点を非線形振動子モデルとした手法[5-8]が存在する．それらの多くはKuramoto振動子を変形させた結合振動子系であることが多い．文献[5-8]では信号または交差点の周期的な状態量の変化を振動子の位相変化としており，隣接する振動子同士の連結により振動子全体の同期を実現するため，振動子の位相ダイナミクスに隣接する振動子との相互作用項を加えたものが同期を考慮したダイナミクスになっている．文献[5]ではオフセットにのみ焦点をあて，その制御しか実現できていないが，ニューラルネットワークを用いた振動子の信号機への適用を試みている．文献[6,7]は，振動子同士の位相同期により，すべての交差点においてサイクル長は等しい値となる．スプリットは東西・南北交通量の比によって目標値が決まり，信号現示1サイクルごとに目標値に向かってスプリットの値が更新される．また，主要進行方向を定めており，各交差点のオフセットの目標値は，主要方向道路における自交差点と隣接する交差点との距離を車両速度で割ったものとなっている．各交差点ごとに目標オフセットに対応した固有振動数の目標値が求められており，信号現示1サイクルごとに目標値に向かって，固有信号数の値が更新される．つまり，文献[6,7]は，スプリットとオフセットの制御を目的としている．文献[8]では[6,7]と同様にサイクル長は振動子全体で等しいものになることに加え，振動子の現示1サイクルで交差点の待ち車両すべてを解消できる最小のサイクル長が求められている．各交差点ごとに求められた最少サイクル長の中で最も大きいものに，各交差点のサイクル長の極限値は一致する．スプリットは各方向流入交通量の比で決まり，オフセットは独自に定めた，オフセットに関する待ち時間関数の最小化問題を，各交差点ごとに数値的に解くことによって求められる．文献[8]では，サイクル長の制御を主題においている．文献[9]ではサイクル長，スプリット，オフセット3つ全ての同時制御を，グラフ上の反応拡散方程式により振動子を設計することにより実現している．信号機が不規則に配置された幹線道路を，異なる速度の車両が通行する状況で，すべての車両が塊となって動くよう，信号機のサイクル長を変化させることによる制御は文献[10]で行われている．
　文献[8]では交差点の利用容量を超えると1サイクルで待ち車両を解消することができないため，最小サイクル長は無限大に大きいものとなってしまい，その交差点は閉鎖されてしまう．閉鎖されないためには最大のサイクル長を設定しておけばよいのだが，1サイクルで解消しきれなかった待ち車両は最大サイクル長から変化した大きいサイクル長で次の青信号を待つのでかなりの待ち時間を要することになる．系のサイズが大きくなればなるほど，最終的にすべての振動子が収束する最小サイクル長は大きなものになっていくので，各交差点での待ち時間は必然的に長くなってしまう．文献[5-9]に言えることだが，センサの故障などにより交通流量がわからない区間が存在する場合，その区間にオフセットのしわ寄せがいきそこを通過する車両の旅行時間が延び，結果としてエリア全体の円滑な交通が阻害されることになる．
　マルチエージェントモデルを用いた信号機のモデル化に関する研究も広く進められている．マルチーエージェントシステムとは，局所的な情報のみを用いて自律的に制御パラメータ変更するエージェントを組み合わせることで，大域的に効率の良い動作を実現するシステムである．文献[11]では，二通りのモデル化を行っており，一方はエージェントが下層エージェント，複数の下層エージェントを統括する中間層エージェント，中間層エージェントを統括する上層エージェントの3つに階層分けされており，各階層のエージェントの知覚できる情報，役割は異なる．他方はエージェント間に階級は存在せず，隣接するエージェントは互いに情報を交換し合い，各々が交通流をスムーズに通過させるよう信号機制御をおこなう．
　非線形結合振動子モデル
　互いに相互作用する非線形結合振動子モデルではKuramotoモデル[12]がよく知られており，文献[5-8]においても隣接する振動子同士の相互作用を考慮した位相振動子モデルとしてこれに似たものを用いている．ここでKuramotoモデルについて説明する．1次元の状態量を持つ単純なモデルであり，個々の振動子の出力振動数は固有振動数に，自分以外のすべての振動子との相互作用項を足し合わせた形になっている．相互作用項の影響の大きさは，結合強度であるカップリングゲインの値によって特徴づけられ，この値を変化させることである程度望ましい同期を実現することできる．同期とは，個々の振動子が持つ出力振動子の値の差が零に収束することであり，収束も仕方もカップリングゲインの値によって変化する．文献[13]ではKuramotoモデルの指数的収束，および収束位相差の幅を任意のものに絞り込むカップリングゲインが導出されており，同期するための位相差の初期条件は収束位相差の値によって影響を受けない．
　Kuramotoモデルを変化させた結合振動子モデルの研究も盛んに行われている．文献[14]では多次元の状態ベクトルを持つモデルを使用しており，隣接する振動子同士の相互作用のみを考えている．またカップリングゲインもKuramotoモデルとは異なり相互作用する振動子ペアごとに違うもの，具体的には振動子間の距離に関係したカップリングゲインを用いており，同期はベクトルの要素ごとに起きる．もちろんある要素が同期している振動子間でも，ほかの要素は同期していない可能性がある．すべての振動子が同期するわけではなく，同期するグループと同期しないグループに分けられる．文献[15]ではKuramotoモデルにグラフ理論を導入しており，完全結合でない結合振動子系に対する同期を取り扱っている．
　交通流モデル
　交通流のモデル化については，流体モデル，追従モデルなどさまざまな角度から研究が進められている．流体モデルは，交通流を連続的な流体として考え，密度，速度，流量などの巨視的量の間の関係式を基にしている．追従モデルでは，前を走る車輌との車間距離や相対速度に応じて加減速をする，個々の自動車の挙動を表現する際に運動方程式を用いる．セルオートマトンを用いて，離散時間モデルとしてモデル化する研究が広く行われている[16-18]．もっとも単純なモデルがルール184モデルと言われているものであり，ほかのセルオートマトンモデルはすべてこのモデルの拡張である．文献[16]では，1次元の拡張された交通流のCAの構築と，その性能評価が行われており，ルール184モデルに比べ，確率の要素や加減速の要素が盛り込まれている．文献[17]では，2次元セルオートマトンモデルを提案している．
　交通流とカオス
　複数の信号機が存在する一方通行の道路において，信号機のパラメータを変化させることによって，各信号機間を通過するのにかかる車両の移動時間が，周期的またはカオス的になる現象で確認されている．文献[19]では，1台の車両の各信号機間での移動時間を考えており，サイクル長と車両の加速度を変化させることによって，移動時間にカオス的現象がみられる．文献[20]では，2台の車両お互いに追い越したり、追い越されたりして先後を争いながら進んでいく状況での，各信号期間での移動時間を考えており，サイクル長とお互いが追い越しあうときの加速度を変化させることによって，各信号機間の移動時間にカオス的現象がみられる．

　本研究では都市部隣接交差点において，各交差点での待ち時間の総和を最小化する信号パラメータを解析的に求めることを目的としている．ここでいう待ち時間とは，交差点において，信号現示1サイクルの間に信号待ちを強要される全車両の停車時間の総和である．都市部隣接交差点においては，サイクル長を全ての交差点で共通，スプリットを東西・南北交通量の比，つまり流入する交通量から一意に決まるとするのが自然で，制御変数をオフセットただ一つに絞り込むことができる．最適オフセットとは各交差点の待ち時間の総和を最小化するオフセットのことで，その値を変えることにより自交差点における待ち時間が増減し，また下流交差点の待ち時間も変化する．
　具体的には図1の正方形に設置された4隣接交差点について，外部からの車両流入量は常に一定であり，西から東，南から北の二方向交通の系を考える．基準交差点を交差点1としており，本研究におけるオフセットとは，各交差点の東西方向交通量に対する信号機の青信号開始時刻と，交差点1の東西方向交通流に対する信号機の青信号開始時刻の差である．西から東へ向かう車流は交差点において，直進・左折が可能とし，南北方向の車流は直進・右折が可能とする．走行時の車両速度を一定とし，停車時の速度を零とする．また速度の切り替わりは，不連続なものとする．出発待ち車両が存在するとき，交差点から出発できる限界の交通量を飽和交通量とし，待ち車両が存在しなくなるまではこの交通量で出発し続ける．まず各交差点を出発する交通量とオフセットの関係を調べ，各交差点に流入する交通量をオフセットの関数として求める．各交差点に流入する交通量から，各交差点での待ち時間をオフセットの関数として表し，その総和の最小化するオフセットを解析的に求める．

図1：都市部4隣接交差点

　まず，系の対称性から，交差点2，3の最適オフセットが等しい値になることを示した．そして，交差点2，3のオフセットが等しいという拘束条件を利用して，飽和交通量を無限大としたケースで最適オフセットを解析的に求めると，交差点2，3の最適オフセットは，各交差点間の距離を車両速度で割った値よりわずかに大きな値となった．また交差点4の最適オフセットは，交差点2，3の最適オフセットの2倍の値となった．上流交差点に対する，隣接する下流交差点のオフセットを，単に交差点間の距離を車両速度で割ったものとしてしまうと，オフセットとは東西方向交通量に対する信号機の青開始時刻なので，交差点1を出発した交通量は交差点3において多大な時間，出発を待たなければならず，このケースは最適オフセットではない．
　交差点4の待ち時間を考慮せずに交差点2，3の待ち時間を最小化するオフセットを導出すると，その値は交差点2，3の最適オフセットと等しい値となった．このことから本研究のような状況設定においては，各交差点は自交差点に流入する交通量を観測し，それをもとに自交差点の待ち時間を最小化するオフセットを自ら算出し，自交差点のパラメータとして適応すれば，そのオフセットが都市部4隣接交差点の各交差点の待ち時間の合計値を最小化する最適オフセットになっていることが分かる．
　次に飽和交通量が有限の値を取るケースにおいて，都市部4隣接交差点における最適オフセットを求めていく．微小量で，その二乗の値を0とみなせる数の逆数を飽和交通量としたとき，都市部4隣接交差点の最適オフセットを解析的に求めるには至っていないが，隣接する2交差点の最適オフセットを解析的に求めることはできた．その値は2交差点間の距離を車両速度で割ったものに，微小量でその二乗の値を0とみなせる数の定数倍を加えた値となった．