Stability of Piecewise Linear Systems

西山　聡史

１．INTRODUCTION

連続時間のダイナミクスとそれを切り替える離散的なダイナミクスとが一体となっているシステムのことを，ハイブリッドシステムと呼ぶ．ハイブリッドシステムはその切り替え要素の種類によって様々な分類が成されているが，そのうちの典型的なものの一つにPiecewise Linear System（以下PLS）と呼ばれるものがある．PLSは状態空間がいくつかの領域に区切られており，各領域には別々の線形ダイナミクスが割り振られている．

PLSはその領域の区切り方によって様々な種類のものを考えることができるが，今回はFig.1に示すように切り替え面が放射状となっているPLSについて論じることとする．ここのA行列が不安定であってもシステム全体としては安定となるケースも存在するため，PLSの解析には通常の線形システムとは違った手法が求められる．PLSはハイブリッドシステムの中でもシンプルかつ基本的なものであると言え，これを詳しく解析することはハイブリッド制御理論の確立のために重要な意義を持つ．

昨今のPLSの研究については論文[1]が詳しい．[1]ではPLSのモデルの定式化やリアプノフ関数を用いたPLSの安定性判別手法などについて例を用いて簡潔に説明されている．

２．PLS安定性解析手法

PLSを解析するにあたってまず重要になってくるのが，解析対象であるシステムがWell-Posedであるかどうかという点である．Well-Posedであるとはシステムの解の一意性を示す概念であり，システムがあらゆる初期値に対してそれに対応した一意の解を持つとき，そのシステムはWell-Posedであると言う．与えられたシステムがWell-Posedであるかどうかを判定する手法については，論文[2,3]が詳しい．

Well-posedな平面PLSの安定性解析については既に幾つかの手法が確立されつつある．

平面PLSの安定性を判断する手法のうち，今のところ最も厳密だと思われるのが論文[4,5]に見られる安定性判別法である．PLS上に存在する個々のダイナミクスの極や零点に注目した厳密な解析を行っており，安定となるための必要十分条件を導き出している．

また，リアプノフ関数をPLSに適用することで安定性を判別する手法も提案されている[1,6]．PLS特有の「領域間の遷移」という現象のために通常のリアプノフ関数よりもPLSのリアプノフ関数の方が拘束条件が多くなっているが，基本的な考え方は通常のリアプノフ関数とほぼ同じである．

上記二点の安定性判別手法はいずれも平面のPLSを想定した解析手法であり，三次元以上のPLSの解析には対応していない．三次元以上のPLSは領域間の遷移が平面時に比べ圧倒的に複雑になるため，その解析は困難となる．論文[7]では領域間の遷移を明確に定義する"Impact Map"という概念を用いて，高次元PLSの解析に取り組んでいる．

３．これからの課題

上記に挙げたPLS解析手法のいずれにも共通している問題点は，その解析に複雑なプロセスを踏まなければならないということだろう．上記のうちで最も明快な解析手法はリアプノフ関数を用いたものだと思うが，それでも領域分割数を多くしていった場合に複雑になってしまうという欠点を持っている．

そこで，分かりやすくPLSを解析する手法は無いかと考える．領域分割数が増えても安定性解析の複雑度がそれほど変化せず，なおかつ直感的に分かりやすい解析法を探していきたい．

４．参考文献

[1]	R. Decarlo, M. Branicky, S. Petersson and B. Lennartson, ``Perspectives and Results on the Stability and Stabilizability of Hybrid Systems,'' Proc. of the IEEE, 88, 1069-1082, 2000.
[2]	J. Imura, ``Well-posedness analysis of switch-driven hybrid systems,'' IEEE Trans. Autom. Contr., 48(11), 1926-1935, 2003.
[3]	J. Imura and A. J. van der Schaft, ``Characterization of well-posedness of piecewise linear systems,'' IEEE Trans. Autom. Contr., 45(9), 1600-1619, 2000.
[4]	Y. Iwatani and S. Hara, ``An exact stability test for planar and multi-modal piecewise linear systems,'' IFAC World Cong., 2005.
[5]	Y. Iwatani and S. Hara, ``Exact stability tests for planar and multi-modal piecewise linear systems,'' Technical Report of The Univ. Tokyo, METR2004-38, 2004.
[6]	J. M. Goncalves, A. Megretski and A. Dahleh. ``Global analysis of piecewise linear systems using impact maps and surface Lyapnov functions,'' IEEE Trans. Autom. Contr., 48(12), 2089-2106, 2003.
[7]	M. Branicky, ``Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems,'' IEEE Trans. Autom. Contr., 43(4), 475-482, 1998.